Тема 5. Показатели вариации

Главные понятия

Ряд рассредотачивания охарактеризовывает состав, структуру совокупы по определенному признаку. Элементами ряда рассредотачивания являются варианты – значения признака xiи частоты fi. Зависимо от статистической природы вариантов ряды делятся на атрибутивные и вариационные. В соотношении вариантов и частот проявляется закономерность рассредотачивания. Она описывается рядом статистических черт, а именно:

а) частотные свойства;

б) свойства центра Тема 5. Показатели вариации рассредотачивания;

в) свойства варианты;

г) свойства неравномерности рассредотачивания, концентрации, асимметрии.

Частотными чертами хоть какого ряда являются абсолютная численность i-й группы – частота fi и относительная частота – частость di.

Разумеется, что .

Дополнительной чертой вариационных рядов есть кумулятивная частота (частость ), которая охарактеризовывает объем совокупы со значениями вариант, которые не превосходят Тема 5. Показатели вариации xi. Кумулятивные частотные свойства создаются поочередным суммированием абсолютных либо относительных частот. Так, и т.д. Если интервалы вариационного ряда неравные, то употребляют плотность частоты (частости) на единицу интервала , где hi – ширина j-го интервала.

К чертам центра рассредотачивания относят среднюю, моду и медиану. Средняя величина охарактеризовывает типовой уровень признака в совокупы Тема 5. Показатели вариации. По данным ряда рассредотачивания средняя рассчитывается как арифметическая взвешенная:

на основании частот на основании частостей

где m – число групп.

В интервальных рядах, допуская равномерное рассредотачивание в границах i-го интервала, как вариант xiиспользуют середину интервала. При всем этом ширину открытого интервала условно считают таковой же, как и примыкающего закрытого интервала Тема 5. Показатели вариации. Так, у ряда рассредотачивания, который охарактеризовывает спрос на гособлигации на вторичном рынке (табл. 5.1), средний срок воззвания облигаций составляет

Мода М0 – это более распространенное значение признака, т.е. варианта, которая в ряду рассредотачивания имеет самую большую частоту (частость).

В дискретному ряду М0определяется зрительно по наибольшей частоте, либо частости. К Тема 5. Показатели вариации примеру, в итоге опроса населения относительно самоопределения вещественного состояния по четырем градациям (не плохое, удовлетворительное, неудовлетворительное, невыносимое) большая часть респондентов обусловили свое состояние как неудовлетворительное. Либо в рассредотачивании современных семей по количеству малышей более всераспространенными являются малодетные семьи, имеющие 1 малыша. Встречаются ряды, которые имеют две моды (бимодальный ряд) либо несколько Тема 5. Показатели вариации (полимодальный). К примеру, на фондовом рынке идиентично высочайшим спросом пользуются как более дешевенькие акции, так и дорогие. В интервальном ряду понаибольшей частоте определяется модальный интервал. Конкретное значение моды в интервале рассчитывается по формуле

,

где x0и h – соответственно нижняя граница и ширина модального интервала;

– частоты (частости) модального, предмодального и Тема 5. Показатели вариации послемодального интервала.

По данным таблицы 5.1 большим спросом пользуются облигаци со сроком воззвания в интервале 4–6 месяцев. Это модальный интервал, ширина которого h=2, нижняя граница x0=4, частота , предмодальная частота , а послемодальная . Модальный срок воззвания облигаций составляет


Таблица 5.1

Срок воззвания, мес. х Количество проданных гособлигаций, тыс. fi Кумулятивная частота, тыс. xi Xi Тема 5. Показатели вариации fi
До 2
2–4
4–6
6–8
8–10
10 и больше
Всего -- --

Медиана Ме– это варианта, которая приходится на середину упорядоченного ряда рассредотачивания и разделяет его на две равные по объему части. Медиана, как и мода, не находится в зависимости от последних значений вариант, потому применяется для свойства центра в ряду рассредотачивания с неопределенными границами. Для определения Тема 5. Показатели вариации Meряда употребляют кумулятивные частоты либо частости . Вдискретном ряду медианой будет значение признака, для которого кумулятивная частота превосходит половину объема совокупы , либо кумулятивная частость . В интервальном ряду таким методом определяется медианный интервал. Конкретное значение медианы в интервале рассчитывается по формуле

где x0 и h – соответственно нижняя граница и ширина медианного Тема 5. Показатели вариации интервала; – частота медианного интервала; – кумулятивная частота предмедианного интервала.

По данным табл. 5.1 половина объема совокупы проданных облигаций .

Как следует, кумулятивная частота значит, что пятидесятая с начала ряда облигация будет находиться в интервале 4–6 с частотой . Медианный срок воззвания проданных облигаций составляет

.

Потому половина облигаций продавались со сроком воззвание меньше, чем полгода – 5,5 мес Тема 5. Показатели вариации., а половина – больше 5,5 мес.

В симметричных рядах рассредотачивания значения моды и медианы совпадают со средней величиной ( ),а в умерено асимметричных они соотносятся таким макаром: .

В приведенном примере в табл. 5.1 соотношения черт центра рассредотачивания облигаций по сроку воззвания свидетельствует об умеренной асимметрии: .

В анализе закономерностей рассредотачивания употребляются также другие порядковые свойства Тема 5. Показатели вариации: квартили и децили.

Квартили Q– это значение вариант, которые делят упорядоченный ряд по объему на четыре равных части, децили D– на 10 равных частей. Как следует, в ряду рассредотачивания определяются три квартили и девять децилей. Медиана является в то же время вторым квартилем и пятым децилем. Расчет квартилей и децилей основывается Тема 5. Показатели вариации на кумулятивных частотах (частостях). К примеру, 1-ый и 3-ий квартили определяются по формулам:

1-ый квартиль:

3-ий квартиль:

1-ый и девятый децили рассчитываются по формулам:

Как следует, в ряду рассредотачивания проданных облигаций 1-ая квартиль составляет 3,5 мес., а 3-я – 7,6 мес., т.е. в 25% облигаций, проданных на вторичном рынке, срок Тема 5. Показатели вариации воззвания не превосходит 3,5 мес., а в 75% проданных облигаций с долгим сроком воззвания малый срок воззвания приравнивался 7,6 мес.

Значения децилей указывают на то, что посреди 10%" проданных облигаций с минимальным сроком воззвания, более долгий срок составляет 1,3 мес., а посреди 10%) облигаций с долгим сроком воззвания малый срок – 9,8 мес., т.е. в 7,5 раза больший Тема 5. Показатели вариации.

Для измерения и оценки варианты употребляют абсолютные и относительные свойства. К абсолютным относятся: вариационный размах, среднее линейное и среднее квадратичное отличия, дисперсии; относительные свойства представлены рядом коэффициентов варианты, неравномерности, локализации, концентрации.

Вариационный размах охарактеризовывает спектр варианты, это разница меж наибольшим и наименьшим значениями признака: . Если последние значение Тема 5. Показатели вариации признака нетиповые для совокупы, то употребляют квартильные либо децильные размахи. Квартильный размах обхватывает 50% объема совокупы, децильный – 60%, децильный – 80%.

Обобщающей мерой варианты является среднее отклонение личных значений признака от центра рассредотачивания. Так как алгебраическая сумма отклонений то в расчетах употребляют либо модули либо квадраты отклонений. Средний из модулей отклонений именуют средним линейным Тема 5. Показатели вариации отклонением ;средний квадрат отклонений – дисперсией , корень квадратный из дисперсии – средним квадратичным отклонением :

По первичным, несгруппированным данным приведенные свойства варианты рассчитываются по принципу невзвешенной средней, т.е.:

.

Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение:

– называемые числа (в единицах измерения признака);

– по содержанию схожие, но через математические характеристики . В симметричном, близком к нормальному, рассредотачивании Тема 5. Показатели вариации .

Дисперсию употребляют не только лишь для оценки варианты, да и при измерении взаимосвязей, для проверки статистических гипотез и тому схожее. Для признаков метрической шкалы расчет дисперсии ведется по формулам:

.

Как и неважно какая средняя, дисперсия имеет определенные математические характеристики:

а) если все значения признака xiуменьшить (прирастить) на определенную величину Тема 5. Показатели вариации, дисперсия не поменяется;

б) если все значения признака поменять в Краз, то дисперсия поменяется в К2раз;

в) в случае подмены частот частостями дисперсия не поменяется.

Для альтернативного признака, вариация которой имеет два взаимоисключающих значения – "1" и "О", а рассредотачивание характеризуется соответственно 2-мя частостями – d1 и d0, дисперсия Тема 5. Показатели вариации рассчитывается как произведение частостей .

В табл. 5.2 приведен расчет абсолютных черт варианты на примере срока воззвания облигаций.

Таблица 5.2

Срок воззвания облигаций, мес. f xi
До 2 - 4,6 69,0 317,40
2–4 - 2,6 33,8 87,88
4–6 - 0,6 17,4 10,44
6–8 1,4 30,8 43,12
8–10 3,4 40,8 138,72
10 и больше 5,4 48,6 262,44
Всего -- -- 240,4 860,00

Средний срок воззвания облигаций 5,6 мес.; среднее линейное отклонение составляет = 240,4:100 = 2,4 мес.; дисперсия – = 860:100 = 8,6; среднее квадратичное отклонение – мес.

Частость облигаций со сроком воззвания меньше 2 мес. составляет Тема 5. Показатели вариации d1= 0,15. Дисперсия частости = 0,15(1-0,15) = 0,1275.

Сравнивая варианты разных признаков либо 1-го признака в разных совокупностях, употребляют относительные свойства варианты. Коэффициенты варианты рассчитываются как отношение абсолютных, именованных черт варианты ( ) к центру рассредотачивания и нередко выражаются процентами, как следует:

1) линейный коэффициент варианты ;

2) квадратичный коэффициент варианты ;

3) коэффициент осцилляции .

К примеру, по данным выборочных обследований домохозяйств Тема 5. Показатели вариации, средние расходы на питание на душу населения составляли 80 грн.; на приобретение промышленных продуктов – 35; дисперсии соответственно – 256 и 196. Сопоставить степень варианты расходов домохозяйств на питание и приобретение промышленных продуктов можно с помощью квадратичного коэффициента варианты:

расходы на питание

;

расходы на приобретение промышленных продуктов

.

Как следует, степень варианты расходов на приобретение промышленных продуктов существенно выше Тема 5. Показатели вариации.

Квадратичный коэффициент варианты употребляют как аспект однородности совокупы. В симметричном, близком к нормальному, рассредотачивании Vs =0,33.

Если центр рассредотачивания представлен медианой, то употребляют квартильный коэффициент варианты: .Мерой оценки расслоения совокупы служит также коэффициент децильной дифференциации: .В ряду рассредотачивания гособлигаций по сроку воззвания

Простейшей мерой асимметричности рассредотачивания является отклонение меж чертами центра рассредотачивания Тема 5. Показатели вариации. Так как в симметричном рассредотачивании то чем более видна асимметрия, тем больше отклонение ( ). Стандартное отклонение именуют коэффициентом асимметрии . В случае правосторонней асимметрии , левосторонней – .

Оценка неравномерности рассредотачивания значений признака меж отдельными составляющими совокупностей основывается на сопоставлении частостей 2-ух рассредотачиваний – по количеству частей совокупы diи по объему значений признака Di. Если Тема 5. Показатели вариации рассредотачивание значений признака равномерное, то . Отклонение частостей свидетельствует об определенной неравномерности рассредотачивания, которая измеряется коэффициентами:


tema-6-denezhnaya-sistema-i-denezhnij-rinok-kurs-lekcij-2-e-izdanie-stereotipnoe-minsk-2005-udk-330-101-541.html
tema-6-deyatelnost-bankov-i-organizaciya-ucheta.html
tema-6-dogovor-renti-programma-disciplini-grazhdanskoe-pravo-osobennaya-chast-dlya-napravleniya-030500-62-yurisprudenciya.html